高校数学合成関数をレーザーの屈折でイメージする(2) 方程式F(x)=0を解く

高校数学で出てきた合成関数を、レーザーの屈折のイメージで考えてみた記事の2本目です。前の記事を先に読んで頂けるとありがたいです。

mura-sou.hatenablog.com

本記事では合成関数 $F(x)=f(g(x))$ について、方程式 $F(x)=0$ を解くことを考えます。

1.本題前の準備その1　g(x)=tとおく
2.本題前の準備その2　方程式F(x)=0を解くことのイメージ
3.本題　方程式F(x)=0を解く
4.まとめ

1.本題前の準備その1　g(x)=tとおく

議論の見通しを良くするため、以下では $g(x)=t$ とおく。
例えば合成関数 $F(x)=f(g(x))$ が
$f(x)=x^2$
$g(x)=x+2$
と与えられていた場合、 $g(x)=t$ とおいて
$g(x)=t=x+2$
$F(x)=f(g(x))=f(t)=t^2$
と表す。

レーザーのイメージでは図1のようになる。レーザーの発射位置は $x$ で、屈折後の位置は $t$ で表される。

2.本題前の準備その2　方程式F(x)=0を解くことのイメージ

方程式 $F(x)=0$ の解とは何か。そのイメージが図2だ。

様々なところからレーザーを発射する。レーザーは関数 $g(x)$ により様々に屈折して $y=f(t)$ のグラフにぶつかる。このうち赤いレーザーに注目して欲しい。赤いレーザーは $x=\alpha$ の位置から発射され、 $t=\alpha'$ に屈折し、 $y=f(t)$ のグラフにぶつかる。ぶつかった点の $y$ 座標は $0$ である。
この $\alpha$ こそ、方程式 $F(x)=0$ の解である。なぜならば、 $F(x)=0$ の解とは $F(\alpha)=0$ となる $\alpha$ のことであり、 $F(\alpha)$ とはレーザーがぶつかった点の $y$ 座標であるからだ。

「方程式 $F(x)=0$ を解け」とは、ざっくり言うと「うまいこと屈折して、 $y$ 座標が $0$ となる位置にぶつかるような、レーザーの発射位置を見つけよう」ということだ。

3.本題　方程式F(x)=0を解く

具体的に問題を解いてみよう。

[問題]
合成関数 $F(x)=f(g(x))$ について、
$f(x)=x^2-2x+1$ , $g(x)=x+2$
である。
$F(x)=0$ を解け。

解答は準備を除くと2つの段階に分けられる。
⓪準備 $g(x)=t$ とおく
①屈折後のレーザーの位置 $t=\alpha'$ を求める
②屈折前のレーザーの位置 $x=\alpha$ （ $=$ レーザーの発射位置、方程式の解）を求める
レーザーの光路を、グラフとぶつかる点から逆に辿っていくイメージだ。

⓪準備 $g(x)=t$ とおく

$g(x)=t$ とおくと、
$F(x)=f(g(x))=f(t)=t^2-2t+1・・・(1)$
$g(x)=t=x+2・・・(2)$

①屈折後のレーザーの位置 $t=\alpha'$ を求める

屈折後のレーザー位置を $t=\alpha'$ とする。レーザーがぶつかる点の $y$ 座標は、 $(1)$ より
$f(\alpha')=\alpha'^2-2\alpha'+1・・・(3)$
となる。これが0となればよいから、
$f(\alpha')=\alpha'^2-2\alpha'+1=0・・・(4)$
とし、この方程式を解くことで $\alpha'$ を求める。式を変形すると
$(\alpha'-1)^2=0・・・(5)$
より、
$\alpha'=1・・・(6)$
となる。