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高校数学合成関数をレーザーの屈折でイメージする(1)

数学

高校数学の勉強をしている。その中で $f(g(x))$ のような合成関数がよく分からない。イメージがなかなか湧かない。ということで合成関数の視覚的なイメージについて考えた記事です。「レーザー光線の屈折」がしっくりきました。

※記事中のグラフ作成には関数グラフソフトGRAPESを使用させて頂きました。リンク

1.レーザー光線で関数の値を求める
2.g(x)は屈折装置
3.合成関数のグラフ
4.屈折の様子の例

1.レーザー光線で関数の値を求める

次の $x$ の関数を考える。

$f(x)=x^2$

$x=2$ のとき、 $f(x)$ はいくつだろうか。代数的には次の計算により求められる。

$f(2) = 2^2 = 4$

この操作を図1のように視覚的にイメージしてみる。

図1 レーザーで関数の値を求める

図1には $y=f(x)=x^2$ のグラフ（放物線）が描かれている。少し突飛なイメージだが、 $x=2$ の直線に沿って、レーザー光線を発射する。レーザーはグラフにぶつかる。このぶつかった点の $y$ 座標を読み取ると、その値が $f(2)=4$ である。

一般化すると、 $x=a$ の時の $f(a)$ の値は、 $x=a$ の直線に沿ってレーザーを発射して、 $y=f(x)$ のグラフとぶつかった点の $y$ 座標である。

2.g(x)は屈折装置

本題の合成関数について考えよう。

$f(x)=x^2$

$g(x)=x+2$

として、合成関数

$F(x)=f(g(x))$

について考える。

$x=2$ のとき、 $F(x)$ はいくつか。代数的には次の計算をすればよい。

$F(2)=f(g(2))=f(2+2)=f(4)=4^2=16$

この操作の視覚的なイメージが図2だ。

図2 $g(x)$ によりレーザーが屈折する

g(x) — 図2 $g(x)$ によりレーザーが屈折する

$x=2$ の値を求めたいのだから、直線 $x=2$ に沿ってレーザーを発射し、グラフ $y=f(x)$ とぶつかった点の $y$ 座標を見ればよい。前の例ではレーザーは発射地点から直進してグラフにぶつかったが、今回は違う。途中に $g(x)$ という関数があることで、直線 $x=4$ の位置に"屈折"する。レーザーの屈折によりグラフとぶつかる点が変わる。

このように、合成関数の内側の関数（ここでは $g(x)$ ）は、レーザーの屈折装置としてイメージすることができる。

3.合成関数のグラフ

引き続き同じ合成関数について考える。

$f(x)=x^2$

$g(x)=x+2$

$F(x)=f(g(x))$

$y=F(x)$ のグラフはどのような形になるだろうか。式は次のように求められる。

$y=F(x)=f(g(x))=(g(x))^2=(x+2)^2 = x^2+4x+4$

そして図3がそのグラフである。

図3 $y=F(x)=x^2+4x+4$ のグラフ

y=F(x)=x^2+4x+4 — 図3 $y=F(x)=x^2+4x+4$ のグラフ

このグラフと前述したレーザーのイメージとの関係は次のようなものである。図4 に示すようにレーザーを様々な直線 $x$ に沿って発射し、グラフとぶつかった点の $y$ 座標= $F(x)$ を記録する。

図4 様々な直線 $x$ に沿ってレーザーを発射する

図4 様々な直線 $x$ に沿ってレーザーを発射する

記録の一部は以下の表のようになる。このようにして得られた点 $(x,y)$ の集合が $y=F(x)$ のグラフとなる。

$x$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=F(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$

4.屈折の様子の例

$g(x)$ はレーザーの屈折装置であるが、どのように屈折するかは関数の形によって異なる。具体例を見てみよう。以下では、屈折した後のレーザーの位置を $t$ で表す。（すなわち $g(x)=t$ とおく）

4.1 g(x)=2xの場合

図5のように、 $x$ の2倍の値の位置に屈折する。

図5 $g(x)=2x$ の場合の屈折

g(x)=2x — 図5 $g(x)=2x$ の場合の屈折

4.2 g(x)=-xの場合

図6のように、0に関して対称の位置に屈折する。

図6 $g(x)=-x$ の場合の屈折

g(x)=-x — 図6 $g(x)=-x$ の場合の屈折

4.3 g(x)が二次関数の場合

$g(x)$ が二次関数の場合について考えてみよう。もっとも簡単な二次関数

$g(x)=x^2$

の場合、図7のように屈折する。

図7 $g(x)=x^2$ の場合の屈折

g(x)=x^2 — 図7 $g(x)=x^2$ の場合の屈折

すこし複雑だが、次のように整理すると分かりやすい。
これまで、レーザーをある位置 $x$ から発射した場合、どの位置 $t$ に屈折するかを考えてきた。ここでは逆に、ある位置 $t$ に屈折させるには、どの位置 $x$ から発射すればよいかを考えてみる。

いま $t=x^2$ であるから、これを $x$ について解くと、 $x=\pm \sqrt{t}$ となる。したがって、

\begin{eqnarray}
x = \left\{ \begin{array}{ll}
解なし & (t<0) \\ 0 & (t=0) \\ \pm \sqrt{t} & (t>0) \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray}

よって、 $t$ の領域により次のような性質があることが分かる(図8)。

・どのような位置からレーザーを発射しても、 $t \lt 0$ の位置に屈折することはない。

・ $t=0$ の位置に屈折するのは、1か所 $x=0$ の位置からレーザーを発射したときのみである。

・ $t \gt 0$ の位置には、2か所 $x=\pm \sqrt{t}$ の位置から発射したレーザーが屈折する。

図8 $t$ の領域ごとの屈折の性質

図8 $t$ の領域ごとの屈折の性質

最後により一般的な次の2次関数を考える。

$g(x)=x^2+2x-3$

どのような屈折が起こるか調べてみよう。

$g(x)=x^2+2x-3=t$

とおく。この等式を満たす $x$ は

$x^2+2x-3-t=0$

を満たす $x$ と等しい。

よって解の公式により $x$ について解くと、

$x=-1\pm\sqrt {1+3+t}=-1\pm\sqrt {t+4}$

したがって、 $t+4$ の符号により場合分けをして

\begin{eqnarray}
x = \left\{ \begin{array}{ll}
解なし & (t<-4) \\ -1 & (t=-4) \\ -1\pm\sqrt{t+4} & (t>-4) \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray}

よって、 $t$ の領域により次のような性質があることが分かる(図9)。

・どのような位置からレーザーを発射しても、 $t \lt -4$ の位置に屈折することはない。

・ $t=-4$ の位置に屈折するのは、1か所 $x=-1$ の位置からレーザーを発射したときのみである。

・ $t \gt -4$ の位置には、2か所 $x=-1\pm \sqrt{t+4}$ の位置から発射したレーザーが屈折する。

図9 $t$ の領域ごとの屈折の性質

図9 $t$ の領域ごとの屈折の性質

mura-sou.hatenablog.com

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