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数学の強力さを実感した話

『独学大全』の次の一節が印象に残っていた。

 

 数学の強力さの根源の一つは、我々の直感や感覚から離脱しても、誤らず迷わず推論が続けられるように、作られているところにある。日常の感覚や想像力から離れる手立てや、その際に足がかりになる定義や遵守すべき推論ルールは、必ずどこかに明記されている。

読書猿著 『独学大全』 ダイヤモンド社,2020,p.726

 

最近数学を勉強し始めて、この言葉をすごく実感することがあったので、そのことについて書きます。以下のような場面です。

 

次の命題の真偽を述べよ。ただし、x,yは実数とする。

x + y 3 ⇒ x ≠ 2 または y ≠ 1   (1)

 

数学が得意な人なら直感や感覚で分かるのかも知れないけど、自分にはきつい。x + y3じゃない、と言わると、可能性が無限にあって確かめようがない気がしてしまう。さらに結論の方も、x2じゃない、でさえxに無限の可能性があるのに、またはy1じゃないって…もうごちゃごちゃしてしまうのです。

 

で、ここに、次の推論のルールがある。

 

命題とその対偶の真偽は一致する。

 

このルールによれば、命題(1)の真偽は、次の命題の真偽と等しい。

 

x = 2 かつ y = 1 ⇒ x + y = 3   (2)

 

めーーッちゃ自明に見える!!これは真!!

 

という経験をしたのでした。不思議だし面白い。命題(1)も(2)も、数学的には同じことを言い換えてるだけなんだろうけど、自分的分かりやすさには雲泥の差がある。

ホモサピエンスの脳の仕組みが関係しているのだろうか。(自分に数学的センスがないだけの可能性も低くないかも。。。)

 

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